Что такое взаимно перпендикулярные. Взаимно перпендикулярные прямые общего положения. Построение исходных объектов

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Определение 1

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Перпендикулярность обозначается « ⊥ », а запись принимает вид a ⊥ b , что значит, прямая a перпендикулярна прямой b .

Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые O x , O z , O y перпендикулярны попарно: O x и O z , O x и O y , O y и O z .

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Теорема 1

Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b .

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Доказательство 1

Пусть введена прямоугольная декартова система координат О х у с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b . Направляющие векторы прямых a и b обозначим a → и b → . Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a → и b → . Это возможно только при скалярном произведении векторов a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) равном нулю, а запись имеет вид a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b , находящихся в прямоугольной системе координат О х у на плоскости, является a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 , где a → = (a x , a y) и b → = b x , b y - это направляющие векторы прямых a и b .

Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b .

Пример 1

Заданы три точки A (8 , 6) , B (6 , 3) , C (2 , 10) в прямоугольной системе координат О х у. Определить, прямые А В и А С перпендикулярны или нет.

Решение

Прямые А В и А С имеют направляющие векторы A B → и A C → соответственно. Для начала вычислим A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Получим, что векторы A B → и A C → перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

A B → , A C → = (- 2) · (- 6) + (- 3) · 4 = 0

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Пример 2

Определить, заданные прямые x - 1 2 = y - 7 3 и x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ перпендикулярны или нет.

Решение

a → = (2 , 3) является направляющим вектором заданной прямой x - 1 2 = y - 7 3 ,

b → = (1 , - 2) является направляющим вектором прямой x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ .

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и b → . Выражение будет записано:

a → , b → = 2 · 1 + 3 · - 2 = 2 - 6 ≠ 0

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , где a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) являются направляющими векторами прямых a и b .

Пример 3

Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x 2 = y - 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 · λ z = 4 · λ

Решение

Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a → = (2 , - 1 , 0) и b → = (1 , 2 , 4) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

Выражение примет вид a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Теорема 2

Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b , это и есть необходимое и достаточное условие.

Доказательство 2

Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида A x + B y + C = 0 , уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 , уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y = k x + b координаты векторов возможно найти.

Пример 4

Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3 x - y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 .

Решение

Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что n α → = (3 , - 1) - это нормальный вектор для прямой 3 x - y + 2 = 0 .

Упростим уравнение x 3 2 + y 1 2 = 1 до вида 2 3 x + 2 y - 1 = 0 . Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме n b → = 2 3 , 2 .

Векторы n a → = (3 , - 1) и n b → = 2 3 , 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0 . Получим n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y = k 1 x + b 1 , а прямая b - y = k 2 x + b 2 , отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты (k 1 , - 1) и (k 2 , - 1) . Само условие перпендикулярности сводится к k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1 .

Пример 5

Выяснить, перпендикулярны ли прямые y = - 3 7 x и y = 7 3 x - 1 2 .

Решение

Прямая y = - 3 7 x имеет угловой коэффициент, равный - 3 7 , а прямая y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 .

Произведение угловых коэффициентов дает значение - 1 , - 3 7 · 7 3 = - 1 , то есть прямые являются перпендикулярными.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема 3

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Доказательство 3

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример 6

Определить, являются ли заданные прямые x - y - 1 = 0 и x 0 = y - 4 2 перпендикулярными.

Решение

Получаем, что нормальный вектор прямой x - y - 1 = 0 имеет координаты n a → = (1 , - 1) , а b → = (0 , 2) - направляющий вектор прямой x 0 = y - 4 2 .

Отсюда видно, что векторы n a → = (1 , - 1) и b → = (0 , 2) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t , чтобы выполнялось равенство n a → = t · b → . Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Прямые скрещивающиеся

Прямые пересекающиеся

Относительное положение прямых

Проецирующие прямые

Прямые уровня

Комплексные чертежи прямых

Координатные фильтры

Ортогональное проецирование точки на плоскость

Построение исходных объектов

Первый этап решения задачи состоит в построении исходных объектов как примитивов AutoCAD’а по размерам, взятым с чертежа. Объектами могут быть точки, отрезки прямых, поверхности.

Исходный чертеж дан, как правило, в безосной форме. Необходимо на этом чертеже нанести оси декартовой системы координат (систему отсчета), относительно которой можно измерять координаты точек объектов. Направление осей нужно задать в соответствии с тем, которое принято в AutoCAD’е. Точка начала координат на чертеже может быть выбрана произвольно, поскольку она не влияет на разности координат точек, то есть не изменяет взаимного положения и формы заданных на чертеже объектов.

На рис. 14 дан чертеж треугольника АВС, содержащий его горизонтальную и фронтальную проекции. На поле чертежа нанесены оси координат. Координаты точек можно измерять линейкой с точностью до 1 мм. Так, координаты точки А равны (x = 10, y = 50, z = 22).

Построим точку А (см. рис. 14) как объект AutoCAD’а.

q Перейдите в окно вида сверху или в окно аксонометрии; в этих окнах система координат соответствует системе, нанесенной на чертеже.

q point \ 10, 50, 22.

q Результат: во всех видовых окнах появилось изображение точки в виде маркера – крестика.

Маркер, которым помечена точка, определен в прототипе. Можно изменить вид и размер маркера:

q Format (Режимы)\ Point Style (Отображение точек).

Построим отрезок прямой AC:

q line \ 10, 50, 22 \ 50,30,50.

Результат: отрезок построен. Он отображен во всех видовых окнах, следовательно, получены три его ортогональные проекции и аксонометрическая проекция (изометрия).

Для построения ортогональной проекции точки на плоскость, когда угол проецирования a=90 0 , (рис. 15) достаточно установить на эту плоскость систему координат (ПСК), определить координаты проецируемой точки в этой системе координат и приравнять нулю z-координату. Например, если ПСК установлена на плоскость D и точка А имеет в этой ПСК координаты (50,60,70), то ортогональная проекция точки А на плоскость D - это точка А D (50,60,0).

Ортогональные проекции строят, применяя так называемые координатные фильтры - средство, позволяющее взять у указанной точки необходимые координаты . Так, если применить фильтр .xy , то у точки будут взяты только координаты x и y , а недостающую координату z система потребует задать дополнительно; для построения ортогональной проекции z-координату нужно задать равной нулю. Фильтры можно вызвать сочетанием клавиш Shift+ПЩ \ Point Filters (Фильтры).

Построим точку А D , являющуюся ортогональной проекцией точки А на плоскость D (см. рис. 15):

q задайте маркер точки;

q установите ПСК в плоскость проекции D;

q point \ Shift+ПЩ \ Фильтры \ .xy \ включите объектную привязку Shift+ПЩ \ Node (Узел );

q укажите прицелом проецируемую точку А;

q на запрос “требуется Z” введите ноль – точка А D построена.

Проекцией отрезка также будет отрезок, для построения которого нужно взять точки проецируемого отрезка, применив координатный фильтр.xy и объектную привязку Endpoint (Конечная ). Пусть имеется отрезок; нужно построить его ортогональную проекцию в заданную плоскость:

q установить ПСК в плоскость проецирования.

q line \ выберите фильтр (Shift+ПЩ \ Фильтры \ .xy);

q включите объектную привязку (Shift+ПЩ \ Конечная ) \ укажите конец проецируемого отрезка \ на запрос “требуется z” введите ноль;

q повторите те же действия для второй конечной точки отрезка \ ПЩ – проекция отрезка построена.

2.3.2. “Автоматическое” проецирование

Проецирование можно “поручить” системе, применив программу project.lsp, которую нужно предварительно загрузить.

q Загрузите файл project.lsp (Tools \ Load Application...)

Результат: загруженная программа создает три новые команды: ПРОЕКЦИЯ, ПР1, ПР2.

q Введите команду ПРОЕКЦИЯ (PROJECT) и прочтите информацию о пользовании программой.

Команда ПР1 осуществляет ортогональное проецирование объектов в плоскость ПСК. Объектами могут быть точки, отрезки прямых и дуги окружности, полилинии. Команда ПР2 осуществляет косоугольное проецирование, о нем см. ниже. Для выполнения ортогонального проецирования:

q установите ПСК в плоскость проецирования;

q введите команду ПР1 и укажите объекты для проецирования \ ПЩ.

Результат: получены ортогональные проекции выбранных объектов на плоскость ПСК.

Так как прямая определяется двумя точками, то для задания ее на чертеже доста­точно проекций двух принадлежащих ей точек (рис. 16, а, б).

При безосном способе изображения расстояние между проекциями берется произ­вольно, но обязательно соблюдается разница координат точек, задающих прямую, (рис. 16, в).

Прямая может занимать различные положения в пространстве относительно плоскостей проекций. Прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций называется прямой общего положения (рис. 16). Остальные прямые относят к прямым частного положения, среди которых различают прямые уровня и проецирующие прямые. Прямые уровня – это прямые параллельные одной из плоскостей проекций, проецирующие прямые – прямые перпендикулярные плоскостям проекций.

Прямая уровня, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью (рис. 17), прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций – фронталью (рис. 18) и прямая, параллельная профильной плоскости проекций, носит название профильной прямой (рис. 19).

Горизонталь обозначают буквой h. Ее фронтальная проекция h 2 всегда перпендикулярна вертикальным линиям связи, а горизонтальная проекция h 1 отражает положение прямой в пространстве. Отрезок /AB/ и углы наклона β, γ к плоскостям проекций П 2 , П 3 проецируются на плоскость П 1 без искажения.

Фронталь обозначают буквой f. У фронтали всегда перпендикулярна линиям связи горизонтальная проекция f 1 , а фронтальная проекция f 2 соответствует положению самой прямой в пространстве. Углы наклона α и γ к плоскостям П 1 и П 3 соответственно, а также отрезок /АБ/ фронтали, проецируются на П 2 без искажения.

Профильную прямую обозначают буквой p. Ее фронтальная p 2 и горизонтальная p 1 проекции совпадают с одной вертикальной линией связи, а профильная проекция p 3 отображает положение прямой в пространстве. Без искажения проецируются на П 3 отрезок /AB/ и углы наклона α, β профильной прямой к плоскостям П 1 и П 2 соответственно.

В зависимости от перпендикулярности к той или иной плоскости проекций прямые называют горизонтально, фронтально или профильно проецирующие.

Горизонтально проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная П 1 (рис. 20). Горизонтальная проекция этой прямой (А 1 =В 1) вырождается в точку, а фронтальная проекция (А 2 В 2) совпадает с линией связи. Очевидно, что горизонтально проецирующая прямая одновременно параллельна П 2 и П 3 , следовательно, /A 2 B 2 / = /A 3 B 3 / = /AB/.

Фронтально проецирующая прямая – прямая перпендикулярная П 2 (рис. 21). Фронтальная проекция этой прямой (А 2 =В 2) вырождается в точку, а горизонтальная проекция (А 1 В 1) совпадает с линией связи. Фронтально проецирующая прямая параллельна П 1 и П 3 , следовательно, /A 1 B 1 / = /A 3 B 3 / = /AB/.

Профильно проецирующая прямая – прямая перпендикулярная П 3 (рис. 22). Профильная проекция такой прямой (А 3 =В 3) представляет собой точку, а горизонтальная и фронтальная проекции перпендикулярны линиям связи. Профильно проецирующая прямая одновременно параллельна П 1 и П 2 , следовательно, /A 1 B 1 / = /A 2 B 2 / = /AB/.

Точки, принадлежащие проецирующей прямой, называют конкурирующими относительно плоскости проекций, которой перпендикулярна прямая. Точки А и В на рис. 20 называются горизонтально конкурирующие, на рис. 21 и 22 соответственно фронтально и профильно конкурирующие. Конкурирующие точки применяются для определения видимости проекций геометрических фигур.

2.4.3. Принадлежность точки прямой линии

Точка может принадлежать прямой или находиться вне ее. Если точка принадлежит прямой, то все проекции данной точки должны принадлежать одноименным проекциям прямой (рис. 23).

Например, точка С принадлежит прямой l , так как С 1 и С 2 принадлежат соответственно l 1 и l 2 .

Точка не принадлежит прямой, если хотя бы одна ее проекция не принадлежит одноименной проекции прямой. Например, точки А, В, D не принадлежат прямой l , причем точка А расположена над прямой, а точка В за прямой.

Определение длины отрезка прямой способом прямоугольного треугольника

Так как прямая общего положения не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то отрезок, ей принадлежащий, проецируется на данные плоскости с искажением.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВВ 0 (рис. 24, а). Гипотенуза АВ треугольника есть сам отрезок в пространстве, катет В 0 В равен горизонтальной проекции отрезка А 1 В 1 , а катет АВ 0 представляет собой разницу высот концов отрезка Z A - Z B до плоскости проекций П 1 . Угол α является углом наклона отрезка к П 1 . Треугольник, равный данному, можно построить на комплексном чертеже (рис. 24, б). Используя в качестве катета горизонтальную проекцию отрезка А 1 В 1 , строим второй катет, равный разнице высот Z A – Z B , которую определяем по фронтальной проекции отрезка А 2 В 2 . Гипотенуза В 1 В 0 равна натуральной величине отрезка /AB/, угол α – угол наклона отрезка к П 1 . Длина отрезка может быть определена также как длина гипотенузы прямоугольного треугольника, одним катетом которого является фронтальная проекция А 2 В 2 , а другим - разница координат Y B – Y A , которую определяем по горизонтальной проекции отрезка (рис. 24, в). Угол β в данном случае будет равен углу наклона отрезка к фронтальной плоскости проекций П 2 .

Таким образом, если требуется определить истинную величину отрезка прямой и угол его наклона к плоскости П 1 , прямоугольный треугольник строят, используя горизонтальную проекцию отрезка. Если требуется истинная величина и угол наклона к П 2 – используется фронтальная проекция.

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися.

Прямые параллельные

Если прямые а , б параллельны, то их проекции также параллельны (рис. 25, а). Справедливо и обратное утверждение, но только для прямых общего положения.

Таким образом, чтобы судить о параллельности двух прямых общего положения, достаточно иметь две любые их проекции. В случае прямых уровня не всегда по двум проекциям можно определить их параллельность. Например, на рис. 25, б взаимное положение профильных прямых вообще не определено. Для однозначного задания таких прямых, с использованием тех же проекций, необходимо указать проекции точек A,B,C,D, принадлежащих им (рис. 25, в). Однако судить о параллельности прямых с и d на рис. 25, в весьма затруднительно. Другое дело, если имеются проекции профильных прямых на плоскость, которой они параллельны (рис. 25, г). Как видно из рис. 25, г проекции А 3 В 3 и С 3 В 3 не параллельны, следовательно, прямые в пространстве не параллельны.

Таким образом, чтобы судить о параллельности прямых уровня необходимо иметь их проекции на плоскость, которой они параллельны.

Если прямые пересекаются в пространстве, то их проекции тоже пересекаются и точки пересечения проекций К 1 , К 2 принадлежат одной линии связи (рис. 26, а).

Проекции скрещивающихся прямых m , n могут пересекаться (рис. 26, б), однако точки пересечения проекций не принадлежат одной линии связи. Точка пересечения горизонтальных проекций скрещивающихся прямых m и n является горизонтальной проекцией двух горизонтально конкурирующих точек 1 и 2. Точка пересечения фронтальных проекций этих прямых является фронтальной проекцией фронтально конкурирующих точек 3, 4.

По горизонтально конкурирующим точкам определяют положение скрещивающихся прямых относительно горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция 1 2 точки 1, принадлежащей m, находится выше, чем 2 2 – точки 2, принадлежащей n (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно, в данном месте прямая m над прямой n .

По фронтально конкурирующим точкам определяют положение скрещивающихся прямых относительно фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция 4 1 точки 4, принадлежащей m , расположена ниже, чем 3 1 – точки 3, принадлежащей n (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно, прямая m расположена перед прямой n .

Любой угол между прямыми отображается на плоскость проекций без искажения, если прямые параллельны данной плоскости, т.е. являются прямыми уровня.

Особыми свойствами обладает прямой угол при ортогональном проецировании. Прямой угол проецируется без искажения, если только одна из его сторон параллельна плоскости проекций.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим рис. 27. Дан прямой угол АВС, стороны которого АВ и ВС параллельны плоскости П 1 . Следовательно, согласно свойствам параллельного проецирования, угол А 1 В 1 С 1 – проекция угла АВС, также прямой угол. ВС ┴ АВ и ВВ 1 по условию и по построению соответственно, отсюда ВС ┴ Σ – плоскости, проведенной через АВ и А 1 В 1 и ┴ П 1 . Как известно из школьного курса геометрии, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей данной плоскости. Следовательно, ВС ┴ ВD и MN, и, соответственно, В 1 С 1 ┴ B 1 D 1 и M 1 N 1 .

На комплексном чертеже возможны следующие случаи задания прямого угла: прямой общего положения а и горизонталью h (рис. 28, а), прямой общего положения в и фронталью f (рис. 28, б), прямой общего положения с и профильной прямой р (рис. 28, в).

В общем случае, когда стороны прямого угла являются прямыми общего положения, прямой угол проецируется с искажением, в острый или тупой угол.

Перпендикуляр – часто фигурирующее слово, значение которого многие не совсем хорошо понимают. Данная мини-статья расскажет о сути перпендикуляра.

Что такое перпендикуляр

Говоря простыми словами, перпендикуляр – это прямая линия, которая составляет угол в 90 с другой линией. Понятие перпендикуляра часто используется в геометрии . Нередко можно услышать предложение, схожее с этим:“Перпендикуляр, проведенный на основание треугольника, делит большой треугольник на два маленьких. Найти…” и т.д. Для примера можно рассмотреть прямоугольный треугольник, где есть два катета (a и b) и гипотенуза c.

В таком треугольнике:

• Катет a перпендикулярен катету b, так как угол между ними составляет 90.
• Катет b перпендикулярен катету a, так как угол между ними составляет 90.

Помимо геометрии, данное слово можно использовать и в разных жизненных ситуациях. Например, если одна дорога пересекает другую так, что угол составляет 90, можно сказать, что они перпендикулярны друг другу.

Из вышеупомянутых примеров можно вывести общее правило: Если две плоскости при пересечении составляют 90, они перпендикулярны друг другу.

Перпендикулярностью называют соотношение между разнообразными объектами в евклидовом пространстве - прямыми, плоскостями, векторами, подпространствами и так далее. В настоящем материале мы более внимательно рассмотрим перпендикулярные прямые и характерные черты, к ним относящиеся. Две прямые могут быть названы перпендикулярными (или взаимоперпендикулярными), если все четыре угла, которые образованы их пересечением, составляют строго по девяносто градусов.

Существуют определенные свойства перпендикулярных прямых, реализованных на плоскости:

Построение перпендикулярных прямых

Перпендикулярные прямые строятся на плоскости с помощью угольника. Любой чертежник должен иметь в виду, что важной особенностью каждого угольника является то, что он обязательно имеет прямой угол. Чтобы создать две перпендикулярные прямые, нам необходимо совместить одну из двух сторон прямого угла нашего

чертежного угольника с данной прямой и провести вторую прямую вдоль второй стороны этого прямого угла. Таким образом будут созданы две перпендикулярные прямые.

Трехмерное пространство

Интересен тот факт, что перпендикулярные прямые могут быть реализованы и в В этом случае такими будут называться две прямые, если они параллельны соответственно каким-либо двух иным прямым, лежащим в той же плоскости и тоже перпендикулярным в ней. Кроме того, если на плоскости перпендикулярными могут быть лишь две прямые, то в трехмерном пространстве - уже три. Более того, в количество перпендикулярных линий (или же плоскостей) может быть еще больше увеличено.

Прямая (отрезок прямой) обозначается двумя большими буквами латинского алфавита или одной маленькой буквой. Точка обозначается только большой латинской буквой.

Прямые могут не пересекаться, пересекаться или совпадать. Пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку, непересекающиеся прямые - ни одной общей точки, у совпадающих прямых все точки общие.

Определение. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямых (или их отрезков) обозначают знаком перпендикулярности «⊥».

Например:

Ваш AB и CD (рис. 1) пересекаются в точке О и ∠АОС = ∠ВОС = ∠АОD = ∠BOD = 90°, то AB ⊥ CD .

Если AB ⊥ CD (рис. 2) и пересекаются в точке В , то ∠АBC = ∠ABD = 90°

Свойства перпендикулярных прямых

1. Через точку А (рис. 3) можно провести только одну перпендикулярную прямую АВ к прямой СD; остальные прямые, проходящие через точку А и пересекающие СD , называются наклонными прямыми (рис. 3, прямые АЕ и АF ).

2. Из точки A можно опустить перпендикуляр на прямую CD ; длина перпендикуляра (длина отрезка АВ ), проведенного из точки А на прямую CD ,- это самое короткое расстояние от A до CD (рис. 3).