Линейка логарифмическая – забытое счетное устройство из прошлого? Логарифмическая линейка (история изобретения) Кто раньше создал логарифмическую линейку

На уроках информатики, изучая тему «История вычислительной техники», упоминается устройство логарифмическая линейка. Что это такое? Как она выглядит? Как ей пользоваться? Рассмотрим историю создания данного устройства и принцип работы.

— это счетный прибор, применявшийся до появления калькуляторов и персональных компьютеров. Это было достаточно универсальное устройство, на котором можно было умножать, делить, возводить в квадрат и куб, вычислять квадратные и кубические корни, синусы, тангенсы и другие значения. Выполнялись эти математические операции с достаточно большой точностью - до 3–4 знаков после запятой.

История логарифмической линейки

В 1622 году Уильям Отред (William Oughtred 5 марта 1575-30 июня 1660) создает, пожалуй, один из самых успешных аналоговых вычислительных механизмов - логарифмическую линейку. Отред является одним из создателей современной математической символики - автор нескольких стандартных в современной математике обозначений и знаков операций:

• Знак умножения - косой крестик: ×
• Знак деления - косая черта: /
• Символ параллельности: ||
• Краткие обозначения функций sin и cos (раньше писали полностью: Sinus, Cosinus)
• Термин «кубическое уравнение».

«Все его мысли были сосредоточены на математике, и он все время размышлял или чертил линии и фигуры на земле… Его дом был полон юных джентльменов, которые приезжали отовсюду, чтобы поучиться у него» .

Неизвестный современник Отреда

Отред внёс решающий вклад в изобретение удобной для пользования логарифмической линейки тем, что предложил использовать две одинаковые шкалы, скользящие одна вдоль другой. Саму идею логарифмической шкалы ранее опубликовал валлиец Эдмунд Гюнтер, но для выполнения вычислений эту шкалу нужно было тщательно измерять двумя циркулями.

Гюнтер ввел также общепринятое теперь обозначение log и термины косинус и котангенс. В 1620 году вышла книга Гюнтера, где дано описание его логарифмической шкалы, а также помещены таблицы логарифмов, синусов и котангенсов. Что же касается самого логарифма, то его изобрел, как известно, шотландец Джон Непер. Видя недоумение Форстера, высоко ценившего данное изобретение, Отред показал своему ученику два изготовленных им вычислительных инструмента - две логарифмические линейки.

Логарифмическая шкала Гюнтера являлась прародителем логарифмической линейки и подвергалась многократным доработкам. Так в 1624 году Эдмунд Уингейт издал книгу, в которой описал модификацию шкалы Гюнтера, позволяющую легко возводить числа в квадрат и в куб, а также извлекать квадратные и кубические корни.

Дальнейшие усовершенствования привели к созданию логарифмической линейки, однако, авторство этого изобретения оспаривают два ученых Уильям Отред и Ричард Деламейн.

Первая линейка Отреда имела две логарифмические шкалы, одна из которых могла смещаться относительно другой, неподвижной. Второй инструмент представлял собой кольцо, внутри которого вращался на оси круг. На круге (снаружи) и внутри кольца были изображены “свернутые в окружность” логарифмические шкалы. Обе линейки позволяли обходиться без циркулей.

В 1632 году в Лондоне вышла книга Отреда и Форстера “Круги пропорций” с описанием круговой логарифмической линейки (уже иной конструкции), а описание прямоугольной логарифмической линейки Отреда дано в книге Форстера “Дополнение к использованию инструмента, называемого “Кругами пропорций”, вышедшей в следующем году.

Линейка Ричарда Деламейна (который был в свое время ассистентом Отреда), описанная им в брошюре “Граммелогия, или Математическое кольцо”, появившейся в 1630 году, тоже представляла собой кольцо, внутри которого вращался круг. Потом эта брошюра с изменениями и дополнениями издавалась еще несколько раз. Деламейн описал несколько вариантов таких линеек (содержащих до 13 шкал). В специальном углублении Деламейн поместил плоский указатель, способный двигаться вдоль радиуса, что облегчало использование линейки. Предлагались и другие конструкции. Деламейн не только представил описания линеек, но и дал методику градуировки, предложил способы проверки точности и привел примеры использования своих устройств.

А в 1654 году англичанин Роберт Биссакер предложил конструкцию прямоугольной логарифмической линейки, общий вид которой сохранился до нашего времени…

В 1850 году девятнадцатилетний французский офицер Амедей Маннхейм создал прямоугольную логарифмическую линейку, ставшую прообразом современных линеек и обеспечивающую точность до трех десятичных знаков. Этот инструмент он описал в книге «Модифицированная вычислительная линейка», изданной в 1851 году. В течение 20-30 лет эта модель выпускалась только во Франции, а затем ее стали изготавливать в Англии, Германии и США. Вскоре линейка Маннхейма завоевала популярность во всем мире.

Логарифмическая линейка долгие годы оставалась самым массовым и доступным прибором индивидуального вычисления, несмотря на бурное развитие вычислительных машин. Естественно, она обладала небольшой точностью и скоростью решения по сравнению с вычислительными машинами, однако, на практике большинство исходных данных были не точные, а приближенные величины, определенные с той или иной степенью точности. А, как известно, результаты вычислений с приближенными числами будут всегда приближенные. Этот факт и высокая стоимость вычислительной техники позволили Логарифмической линейке просуществовать практически до конца 20 столетия.

Сложение

2 + 4 = 6

Вычитание

8 – 3 = 5

Умножение

a ∙ b = с при a = 2 , b = 3

Логарифмируя обе части равенства, имеем: Lg (a ) + lg (b )= lg (с ) .

Взяв две линейки с логарифмическими шкалами, видим, что сложение значений lg 2 и lg 3 дает в результате lg 6 , то есть произведение 2 на 3 .

На основной шкале корпуса линейки (вторая снизу) выбирается первый сомножитель и на него устанавливается начало основной, нижней, шкалы движка (она на лицевой стороне последнего и точно такая же, как основная шкала корпуса).

На основной шкале движка волосок бегунка устанавливается на втором сомножителе.

Ответ находится на основной шкале корпуса линейки под волоском. Если при этом волосок выходит за пределы шкалы, то на первый сомножитель устанавливают не начало, а конец движка (с числом 10).

Деление

a / b = с при a = 8 , b = 4

Логарифмируя обе части равенства, получим: Lg (a ) – lg (b ) = lg (с ) .

Разность логарифмов делимого и делителя дает логарифм частного, в нашем случае - 2 .

На основной шкале корпуса линейки выбирается делимое, на которое устанавливается волосок бегунка.

Под волосок подводится делитель, найденный на основной шкале движка. Результат определяется на основной шкале корпуса напротив начала или конца движка.

Возведение в степень и извлечение корня

Шкала квадратов чисел - вторая сверху, кубов - первая сверху.

Волосок устанавливается на возводимом числе на основной шкале корпуса, а под волоском на соответствующей шкале считывается результат.

При извлечении квадратного и кубического корней, наоборот, результат находится на основной шкале.

Перенос при расчетах с запятой

Если, например, один из сомножителей равен 126 , то на линейке используется значение 1,26 , а найденное произведение увеличивается в 100 раз. При возведении в куб числа 0,375 результат, найденный для числа 3,75 , уменьшается в 1000 раз и т.п.

Человеку, не знакомому с использованием логарифмической линейки, она покажется работой Пикассо. Она имеет как минимум три различных шкалы, почти на каждой из которых цифры расположены даже не на одинаковом расстоянии друг от друга. Но разобравшись, что к чему, вы поймете, почему логарифмическая линейка была такой удобной во времена до изобретения карманных калькуляторов. Правильно расположив нужные цифры на шкале, вы сможете выполнить умножение двух любых чисел гораздо быстрее, чем выполняя расчеты на бумаге.

Шаги

Часть 1

Общая информация

Обратите внимание на промежутки между цифрами. В отличие от обычной линейки, расстояние между ними не одинаковое. Наоборот, оно определяется по особой «логарифмической» формуле, меньше с одной стороны и больше с другой. Благодаря этому вы можете совместить две шкалы нужным образом и получить ответ на задачу по умножению, как описано ниже.

Метки на шкале. Каждая шкала логарифмической линейки имеет буквенное или символьное обозначение с левой или правой стороны. Ниже описаны общепринятые обозначения на логарифмических линейках:

• Шкалы C и D похожи на одноразрядную вытянутую линейку, метки на которой расположены слева направо. Такая шкала называется «одноразрядной десятичной» шкалой.
• Шкалы A и B - «двухразрядные десятичные» шкалы. Каждая состоит из двух небольших вытянутых линеек, расположенных впритык.
• K - это трехразрядная десятичная шкала или три вытянутые линейки, расположенные впритык. Такая шкала имеется не на всех логарифмических линейках.
• Шкалы C| и D| аналогичны C и D, но читаются справа налево. Часто они имеют красную окраску. Они присутствуют не на всех логарифмических линейках.
• Логарифмические линейки бывают разные, поэтому и обозначение шкал может быть другим. На некоторых линейках шкалы для умножения могут быть помечены как A и B и находиться сверху. Независимо от буквенных обозначений, на многих линейках рядом со шкалами есть символ π, отмеченный в подходящем месте; в большинстве своем шкалы находятся напротив друг друга, либо в верхнем, либо в нижнем промежутке. Рекомендуем решить несколько простых задач на умножение, чтобы вы могли понять, правильно ли вы используете шкалы. Если произведение 2 и 4 не равняется 8, попробуйте использовать шкалы на другой стороне линейки.

1. Научитесь понимать деления шкалы. Посмотрите на вертикальные линии на шкале C или D и ознакомьтесь с тем, как они читаются:

   • Основные цифры на шкале начинаются с 1 от левого края и продолжаются до 9, а затем завершаются еще одной 1 справа. Обычно все они нанесены на линейку.
   • Вторичные деления, обозначенные чуть меньшими вертикальными линиями, разделяют каждую основную цифру на 0,1. Вас не должно сбивать с толку, если они обозначены как «1, 2, 3»; все равно они соответствуют «1,1; 1,2; 1,3» и так далее.
   • Также могут присутствовать меньшие деления, которые обычно соответствуют шагу 0,02. Следите за ними внимательно, так как они могут исчезать в верхней части шкалы, где цифры находятся ближе друг к другу.

2. Не ожидайте получить точные ответы. При чтении шкалы вам часто придется приходить к «наиболее вероятному предположению», когда ответ не будет попадать тютелька в тютельку. Логарифмическая линейка используется для быстрых подсчетов, а не для максимальной точности.

   • Например, если ответ находится между отметками 6,51 и 6,52, запишите то значение, которое вам кажется ближе. Если совсем непонятно, то запишите ответ как 6,515.

   Часть 2

   Умножение

   1. Запишите числа, которые вы будете умножать. Запишите числа, которые подлежат умножению.

      • В примере 1 этого раздела мы подсчитаем, сколько будет 260 x 0,3.
      • В примере 2 мы подсчитаем, сколько будет 410 x 9. Это немного сложнее, чем пример 1, поэтому сначала рассмотрим более простую задачу.

   2. Переместите десятичные точки для каждого числа. Логарифмическая линейка имеет цифры от 1 до 10. Переместите десятичную точку каждого умножаемого числа, чтобы они соответствовали своим значениям. После решения задачи мы переместим десятичную точку в ответе в нужное положение, что будет описано в конце раздела.

      • Пример 1: чтобы подсчитать 260 x 0.3, начинайте вместо этого с 2,6 x 3.
      • Пример 2: чтобы подсчитать 410 x 9, начинайте вместо этого с 4,1 x 9.

   3. Найдите меньшие цифры на шкале D, затем передвиньте к ней шкалу C. Найдите меньшую цифру на шкале D. Сдвиньте шкалу C таким образом, чтобы «1» слева (левый индекс) располагалась на одной линии с этой цифрой.

      • Пример 1: сдвиньте шкалу C таким образом, чтобы левый индекс совпал с 2,6 на шкале D.
      • Пример 2: сдвиньте шкалу C таким образом, чтобы левый индекс совпал с 4,1 на шкале D.

   4. Переместите металлический указатель ко второй цифре на шкале C. Указатель - это металлический предмет, который перемещается по всей линейке. Совместите указатель со второй цифрой вашей задачи на шкале C. Указатель будет указывать ответ к задаче на шкале D. Если он не перемещается так далеко, переходите к следующему шагу.

   5. Если указатель не перемещается к ответу, используйте правый индекс. Если указатель блокируется перегородкой в центре линейки или ответ расположен за пределами шкалы, то используйте немного иной подход. Сдвиньте шкалу C таким образом, чтобы правый индекс или 1 справа располагались над большим коэффициентом вашей задачи. Переместите указатель к другому коэффициенту по шкале C и прочтите ответ на шкале D.

      • Пример 2: переместите шкалу C таким образом, чтобы 1 справа совпала с 9 по шкале D. Переместите указатель к 4,1 по шкале C. Указатель показывает на шкалу D в точке между 3,68 и 3,7, поэтому наиболее вероятный ответ будет 3,69.

   6. Прикидывайте правильную десятичную точку. Независимо от производимого умножения, ваш ответ всегда будет считываться по шкале D, которая содержит лишь цифры от одного до десяти. Вам не обойтись без предположения и умственного подсчета, чтобы определить местонахождение десятичной точки в фактическом ответе.

      • Пример 1: нашей первоначальной задачей было 260 x 0,3, а линейка дала ответ 7,8. Округлите первоначальную задачу до удобных чисел и решите ее в голове: 250 x 0,5 = 125. Такой ответ гораздо ближе к 78, чем к 780 или 7,8, поэтому правильный ответ будет 78 .
      • Пример 2: нашей первоначальной задачей было 410 x 9, а линейка дала ответ 3,69. Прикиньте первоначальную задачу как 400 x 10 = 4000. Ближайшим числом будет 3690 , которое и станет фактическим ответом.

   Часть 3

   Возведение в квадрат и куб

   Часть 4

   Извлечение квадратного и кубического корня

   1. Запишите число в экспоненциальном представлении для извлечения квадратного корня. Как и всегда, на линейке есть только значения от 1 до 10, поэтому для извлечения квадратного корня вам потребуется записать число в экспоненциальном представлении .

      • Пример 3: для решения √(390) запишите задачу как √(3,9 x 10 2).
      • Пример 4: для решения √(7100) запишите задачу как √(7,1 x 10 3).

   2. Определите, какую сторону шкалы A необходимо использовать. Чтобы извлечь квадратный корень числа, для начала переместите указатель к этому числу по шкале A. Но так как шкала A нанесена дважды, необходимо решить, какую использовать.

      Находим ответ по шкале D. Прочитайте значение по шкале D, на которое наведен указатель. Прибавьте к нему "x10 n ". Для подсчета n возьмите исходную степень 10, округлите в меньшую сторону до ближайшего четного числа и разделите на 2.

      • Пример 3: соответствующее значение шкалы D при A=3,9 будет 1,975. Изначальная цифра в экспоненциальном представлении имела 10 2 . 2 уже четная, поэтому просто разделите на 2, чтобы получить 1. Окончательный ответ будет 1,975 x 10 1 = 19,75 .
      • Пример 4: соответствующее значение шкалы D при A=7,1 будет 8,45. Изначальная цифра в экспоненциальном представлении имела 10 3 , поэтому округлите 3 до ближайшего четного числа, 2, а затем разделите на 2, чтобы получить 1. Окончательный ответ будет 8,45 x 10 1 = 84,5 .

   3. Аналогичным способом извлекайте кубические корни по шкале K. Процесс извлечения кубического корня очень схож. Самое главное - определить, какую из трех шкал K следует использовать. Для этого разделите количество цифр вашего числа на три и узнайте остаток. Если остаток 1, используйте первую шкалу. Если 2, используйте вторую шкалу. Если 3, используйте третью шкалу (еще один способ - многократно считать от первой шкалы до третьей, пока не достигнете количества цифр в вашем ответе).

      • Пример 5: для извлечения кубического корня из 74 000 необходимо подсчитать количество цифр (5), разделить его на 3 и узнать остаток (1, остаток 2). Так как остаток 2, используем вторую шкалу (также можно выполнить счет по шкалам пять раз: 1–2–3–1–2 ).
      • Переместите курсор к 7,4 по второй шкале K. Соответствующее значение по шкале D будет примерно 4,2.
      • Так как 10 3 меньше 74 000, но 100 3 больше 74 000, ответ должен быть в рамках от 10 до 100. Переместите десятичную точку, чтобы получить 42 .
   • Логарифмическая линейка позволяет также выполнять расчет других функций, особенно если на ней имеется шкала логарифмов, шкала тригонометрических расчетов или другие специализированные шкалы. Попробуйте разобраться в них самостоятельно или почитайте информацию в интернете.
   • Можно использовать метод умножения для преобразования между двумя единицами измерения. Например, поскольку 1 дюйм = 2,54 сантиметра, задачу «преобразовать 5 дюймов в сантиметры» можно трактовать как пример умножения 5 x 2,54.
   • Точность логарифмической линейки зависит от количества различимых масштабных отметок. Чем больше длина линейки, тем выше ее точность.

Первые логарифмические линейки изобрели англичане – математик-педагог Ульям Отред и учитель математики Ричард Деламейн. Летом 1630 года в гостях у Отреда побывал его друг и ученик Уильям Форстер – учитель математики из Лондона.

Друзья много говорили о математике, о правильной методике ее преподавания. Когда разговор зашел о шкале Гюнтера, Отред отозвался о ней критически. Он отметил, что много времени уходит на манипулирование двумя циркулями , при этом точность получается низкая.

Логарифмическая шкала, используемая с двумя циркулярами-измерителями, была построена валлийцем Эдмундом Гюнтером. Шкала, изобретенная им, представляла собой отрезок, на котором были нанесены деления, они соответствовали логарифмам чисел или тригонометрических величин. Пользуясь циркулями-измерителями можно было определить, какова сумма длин отрезков шкалы или их разность, и соответственно, согласно свойствам логарифмов, можно было найти произведение или частное. Общепринятое ныне обозначение log, а также термины котангенс и косинус были введены Эдмундом Гюнтером.

У первой линейки Отреда было две логарифмические шкалы, из которых одна легко смещалась относительно другой — неподвижной. Вторым инструментом было кольцо, внутри которого была ось, а на ней вращался круг. На наружной поверхности круга и внутри кольца можно было видеть логарифмические шкалы, «свернутые в окружность». Обеими линейками можно было пользоваться, не прибегая к циркулю.

В книге Отреда и Форстера под названием «Круги пропорций», вышедшей в Лондоне в 1632 году, было дано описание круговой логарифмической линейки, правда тогда там была другая конструкция. В книге «Дополнение к использованию инструмента, называемого «Кругами пропорций»», вышедшей в свет уже на следующий год, Форстер подробно описал прямоугольную логарифмическую линейку Отреда.

Право изготавливать линейки Ортреда, было дано Элиасу Аллену – известному лондонскому механику. Линейку, которая представляла из себя кольцо, с вращающимся кругом внутри, изобрел Ричард Деламейн (бывший ассистент Отреда). Подробное ее описание было дано в 1630 году в брошюре «Граммелогия или Математическое кольцо».

Деламейном было описано несколько вариантов логарифмических линеек, содержащих до 13 шкал. Были предложены и другие конструкции. Деламейн представил не только описания линеек, но и методику градуировки. Им были предложены способы проверки точности, а также приведены примеры, где он использовал свои устройства.

Скорее всего, Ричард Деламейн и Уильям Отред стали изобретателями своих логарифмических линеек, не завися друг от друга. А в 1654 году англичанином Робертом Биссакером была предложена конструкция прямоугольной логарифмической линейки. Ее общий вид и сохранился до нашего времени.

Логарифмическая линейка (фото см. ниже) была придумана как прибор для экономии умственных затрат и времени, связанных с математическими расчетами. Особое распространение она получила в практике инженеров в институтах, ориентированных на научно-исследовательскую деятельность, и в статистических бюро до момента внедрения электронной вычислительной техники.

Линейка логарифмическая: история

Прообразом счетного устройства была шкала для вычислений английского математика Э. Гантера. Он придумал ее в 1623 г., вскоре после открытия логарифмов, для упрощения работы с ними. Шкала использовалась в сочетании с циркулем. Им отмеривались необходимые градуированные отрезки, которые потом складывались или вычитались. Операции с числами заменялись действиями с логарифмами. Используя их основные свойства, умножить, делить, возводить в степень или вычислять корень числа оказалось намного проще.

В 1623 году линейка логарифмическая была усовершенствована У. Отредом. Он добавил вторую подвижную шкалу. Она перемещалась вдоль основной линейки. Отмерять отрезки и считывать результаты исчислений стало легче. Для повышения точности устройства в 1650 году была реализована попытка увеличения длины шкалы за счет ее расположения по спирали на вращающемся цилиндре.

Добавление в конструкцию бегунка (1850 г.) сделало процесс исчисления еще более удобными. Дальнейшее усовершенствование механизма и способа нанесения логарифмических шкал на стандартную линейку не добавили точности прибору.

Устройство

Линейка логарифмическая (стандартная) изготавливалась из плотной древесины, стойкой к истиранию. Для этого в промышленных масштабах использовалось грушевое дерево. Из него изготавливался корпус и движок - планка меньшего размера, монтируемая во внутреннем пазе. Ее можно перемещать параллельно основанию. Бегунок изготавливался из алюминия или стали со смотровым окошком из стекла или пластика. На него нанесена тонкая вертикальная линия (визир). Бегунок двигается по боковым направляющим и подпружинивается стальной пластинкой. Корпус и движок облицованы светлым целлулоидом, на котором тиснением нанесены шкалы. Их деления заполнены типографской краской.

На лицевой стороне линейки располагаются семь шкал: четыре- на корпусе и три - на движке. На боковых гранях нанесена простая измерительная разметка (25 см) с делениями 1 мм. Шкалы (C) на движке внизу и (D) на корпусе сразу под ней считаются главными. На основании сверху располагается кубическая разметка (K), под ней - квадратичная (A). Ниже (сверху на движке) есть точно такая же симметричная вспомогательная шкала (B). Внизу на корпусе еще есть разметка для значений логарифмов (L). В самом центре лицевой части линейки между разметками (B) и (C) нанесена обратная шкала чисел (R). С другой стороны движка (планку можно вынуть из пазов и перевернуть) присутствуют еще три шкалы для расчета тригонометрических функций. Верхняя (Sin) - предназначена для синусов, нижняя (Tg) - тангенсов, средняя (Sin и Tg) - общая.

Разновидности

Стандартная линейка логарифмическая имеет длину измерительной шкалы 25 см. Выпускался еще карманный вариант длиной 12,5 см и устройство повышенной точности 50 см. Существовало деление линеек на первый и второй сорта в зависимости от качества исполнения. Внимание уделялось четкости наносимых штрихов, обозначений и вспомогательных линий. Движок и корпус должны были быть ровными и идеально подогнаны друг к другу. Изделия второго сорта могли иметь незначительные царапины и точки на целлулоиде, но они не искажали обозначений. Также мог присутствовать незначительный люфт в пазах и прогиб.

Существовали и другие карманные (похожие на часы диаметром 5 см) варианты устройства - логарифмическая дисковая (типа «Спутник») и круговая (КЛ-1) линейки. Они отличались и конструкцией, и меньшей точностью измерений. В первом случае для установки чисел на замкнутых круговых логарифмических шкалах использовалась прозрачная крышка с линией-визиром. Во втором - механизм управления (две вращающиеся ручки) был смонтирован на корпусе: одной управлялся дисковый движок, другая управляла стрелкой-визиром.

Возможности

Логарифмической линейкой общего назначения можно было осуществлять деление и умножение чисел, возведить их в квадрат и куб, извлекать корень, решать уравнения. Кроме этого, по шкалам производились тригонометрические вычисления (синус и тангенс) по заданным углам, определялись мантиссы логарифмов и обратные действия - находились числа по их значениям.

Правильность вычислений во многом зависела от качества линейки (длинны ее шкал). В идеале можно было надеяться на точность до третьего знака после запятой. Такие показатели были вполне достаточными для технических расчетов в XIX веке.

Возникает вопрос: как пользоваться логарифмической линейкой? Одного знания назначения шкал и способов нахождения на них чисел еще не достаточно для произведения расчетов. Чтобы использовать все возможности линейки, нужно понимать, что такое логарифм, знать его характеристики и свойства, а также принципы построения и зависимости шкал.

Для уверенной работы с устройством требовались определенные навыки. Сравнительно простые вычисления с одним бегунком. Для удобства движок (чтобы не отвлекал) можно удалять. Установив черту на значения любого числа на основной (D) шкале можно сразу же по визиру получить результат возведения его в квадрат на шкале выше (A) и в куб - на самой верхней (K). Внизу (L) будет значение его логарифма.

Деление и умножение чисел производится с помощью движка. Применяются свойства логарифмов. Согласно им, итог умножения двух чисел равен результату сложения их логарифмов (аналогично: деление и разница). Зная это, можно достаточно быстро производить расчеты, используя графические шкалы.

Чем сложна логарифмическая линейка? Инструкция по ее правильному использованию шла в комплекте с каждым экземпляром. Кроме знания свойств и характеристик логарифмов, нужно было уметь правильно находить исходные числа на шкалах и уметь в нужном месте считывать результаты, в том числе самостоятельно определять точное место расположения запятой.

Актуальность

Как пользоваться логарифмической линейкой, в наше время знают и помнят немногие, и с уверенностью можно утверждать, что число таких людей будет снижаться.

Логарифмическая линейка из разряда карманных счетных приспособлений давно стала раритетом. Для уверенной работы с ней нужна постоянная практика. Методика расчетов с примерами и разъяснениями тянет на брошюру в 50 листов.

Для среднестатистического человека, далекого от высшей математики, логарифмическая линейка может представлять какую-то ценность разве что справочными материалами, размещенными на обратной стороне корпуса (плотность некоторых веществ, температура плавления и пр.). Преподаватели даже не утруждаются вводить запрет на ее наличие при сдаче экзаменов и зачетов, понимая, что разобраться с тонкостями ее использования современному студенту очень сложно.

Большинство видело логарифмическую линейку (или счётную линейку) только на картинке или в фильмах, таких как «Титаник» (1997 год), «Этот остров Земля» (1955 год) и «Аполлон-13» (1995 год). Если Вы являетесь поклонником «Звёздного пути», то должны знать, что Мистер Спок в нескольких эпизодах пользуется логарифмическими линейками "Jeppesen CSG-1" и "B-1". Однако было время, когда инженеры ходили не с калькуляторами или мобильными телефонами, а логарифмическими линейками на поясе. Логарифмическая линейка "Pickett" полетела на Луну вместе с космонавтами, а линейка от "K&E" сделала возможным создание атомной бомбы.

Логарифмические линейки являются частью математики и истории. Они не подвержены влиянию электромагнитных импульсов, а, значит, способны пережить Апокалипсис, который нам все пророчат. В случае с логарифмическими линейками, как и многими другими вещами в этой жизни, действует правило: чем больше, тем лучше.

История логарифмической линейки

Логарифмическая линейка была разработана английским математиком Уильямом Отредом в XVII веке. Она сохраняла свою популярность среди людей, которые всерьёз занимались математикой, вплоть до начала 1970-х годов. На самом деле идея выполнения различных вычислений при помощи линейки в то врем не была новой. Ранее Эдмунд Гюнтер разработал сектор с таким же делением, как и у логарифмической линейки, но чтобы с помощью него решить какую-либо проблему, Вам необходим был отдельный набор делительных циркулей. Прибор Отреда представлял собой круговую логарифмическую линейку. Один из его учеников, Ричард Деламейн, утверждал, что также изобрёл логарифмическую линейку. Оба мужчины обвиняли друг друга в воровстве идей.

Современные учёные считают, что они одновременно создали круговую логарифмическую линейку. Деламейн первым публично сообщил о своём изобретении, однако Отред, по всей видимости, завершил разработку логарифмической линейки раньше, чем его ученик.

Обычная логарифмическая линейка была создана Отредом примерно в 1650 году.

Теория логарифмической линейки

Логарифмические линейки связаны с открытием логарифмов Непером. Логарифмы играли важную роль в мире докомпьютерной математики. Давайте рассмотрим в качестве примера десятичный логарифм. Если 10 возвести в квадрат, получится 100. Следовательно, логарифм 100 равен 2. Если Вы возведёте 10 в пятую степень, то получите 100000. Отсюда, логарифм 100000 равен 5. Полученные цифры не обязательно должны быть целыми числами. Так, к примеру, логарифм 200 равен 2,3.

Таблица логарифмов

Если бы Вы тратили много времени на вычисления, то непременно создали бы таблицу чисел и их логарифмов. Вопрос: зачем? Ответ простой. Предположим, Вы захотели умножить два числа – 200 и 100. Это достаточно просто сделать, не прибегая ко всяким хитростям. Вы записываете на листке бумаги «200х100» и умножаете каждую цифру. При помощи логарифмов сделать это намного легче. Логарифм 200 равен 2,301, а логарифм 100 – 2. Сумма логарифмов 200 и 100 составляет 4,301 (2,301+2). Если Вы возведёте 10 в степень 4,3, то получите не совсем точный ответ (19998,6), поскольку мы округлили логарифм 200. Очевидно, чем больше цифр в Вашей таблице, тем лучше.

Это не совсем удачный пример. Но если Вам нужно умножить 7329 на 8115, то зная логарифмы этих чисел (3,8650 и 3,9093 соответственно), выполнить данное вычисление Вам будет очень легко. Возведите 10 в степень 7,7743, и Вы узнаете правильный ответ – 59470282 (на самом деле 59474835, но, опять же, очень близко).

Подвижные таблицы

Каким образом это связано с логарифмической линейкой? Логарифмическая линейка представляет собой эффективную таблицу логарифмов, выполненную из дерева, пластика или металла. Отметки наносятся на поверхность на основании логарифма числа, однако обозначаются реальными цифрами, то есть расстояние между 0 и 1, к примеру, намного больше, чем расстояние между 8 и 9.

Давайте рассмотрим принцип пользования логарифмической линейкой на простом примере: 2х3. Сдвиньте шкалу С таким образом, чтобы единица оказалась над цифрой 2 на фиксированной шкале D. Затем установите движок на отметке 3 на шкале С. А теперь Вам нужно всего лишь взглянуть на цифру на фиксированной шкале D, чтобы получить ответ (6). Принцип пользования логарифмической линейкой очень легко понять, если Вы держите её в руках. Также Вы можете воспользоваться веб-симулятором, доступным по ссылке . Скриншот расчёта Вы можете увидеть ниже.

Если Вы имеете дело с большими числами, сначала уменьшите их в n-ное количество десятков раз, а после мысленно увеличьте во столько же полученный результат. К примеру, чтобы вычислить произведение чисел 20 и 30, Вам необходимо сначала уменьшить их в 10 раз, а после в 100 раз увеличить полученный результат.

Деление и прочие операции

Деление работает почти так же, однако основано на вычитании. Если Вы сдвинете шкалу С таким образом, чтобы цифра 3 оказалась над 6 на фиксированной шкале D, то сможете под 1 на шкале С увидеть ответ 2 (шкала D). Не запутаться в числах Вам поможет прозрачный пластиковый движок с тонкой линией посередине. В некоторых линейках даже есть небольшое увеличительное стекло, позволяющее лучше рассмотреть отметки на шкале.

Получение правильного ответа

В отличие от калькулятора, логарифмическая линейка, как правило, требует, чтобы Вы имели некоторое представление об ответе, чтобы интерпретировать результаты. Также Вы должны быть в состоянии увидеть разницу между, скажем, 7,3, 7,35 и 7,351. Вот почему чем больше, тем лучше.

Обычная логарифмическая линейка имеет длину около 25 сантиметров. Карманные линейки были короткими, но непрактичными. Также существовали огромные логарифмические линейки, предназначенные для использования в классе (длина некоторых из них достигала 2 метров 15 сантиметров). Для более точных вычислений инженеры пользовались линейками, по форме напоминающими цилиндр. Они были эквивалентом логарифмических линеек длиной до 10 метров.

Выше изображена логарифмическая линейка Отиса Кинга, которая соответствовала линейке длиной 170 сантиметров, однако легко умещалась в кармане. С виду она очень похожа на телескоп. На самом же деле это логарифмическая линейка со шкалой, нанесённой по спирали вокруг инструмента. На линейке Отиса Кинга было больше цифр, чем на обычной логарифмической линейке, однако вычисления, производимые с её помощью, зачастую оказывались не совсем точными.

Как начать коллекционировать логарифмические линейки и где их взять?

Многие думают, что логарифмические линейки трудно коллекционировать, однако на самом деле это довольно легко и недорого. В своё время они были широко распространены, однако после изобретения калькулятора и компьютера вмиг стали никому не нужны. Если постараться, то можно найти людей, у которых сохранились бывшие в употреблении или абсолютно новые логарифмические линейки.

Сайт eBay – место, где Вы, как показывают результаты поиска, сможете найти более 3000 логарифмических линеек. Также их можно приобрести по дешёвке в местных магазинах. Часто люди не понимают, для чего нужны логарифмические линейки, поэтому только рады избавиться от них. Кроме того, если люди узнают, что Вы коллекционер, они могут просто так подарить Вам логарифмические линейки, которые некогда принадлежали их дальним родственникам. Им будет приятно знать, что Вы их сохраните.

Если Вы решили купить логарифмическую линейку, убедитесь, что у неё работает шкала С и не запотевает прозрачный движок. Их ремонт или замена – весьма кропотливый труд. Также избегайте линеек со следами коррозии или выцветшими отметками. Их можно восстановить, но это требует немало сил и времени. В Интернете можно найти советы, как правильно чистить различные линейки.

Если Вы приобрели логарифмическую линейку, то должны помнить, что она, как и любая другая вещь, требует особого ухода. Чтобы её подвижные части хорошо работали, протирайте их полиролью для мебели (если линейка деревянная). Раньше люди смазывали железные логарифмические линейки вазелином. Важно также постоянно поддерживать логарифмическую линейку в чистоте и следить за тем, чтобы грязь не попадала под движок.

Также не следует оставлять линейку под прямыми солнечными лучами. Кроме того, старайтесь избегать использования мыла, воды и других веществ, которые могут повредить Вашу линейку.

Логарифмические линейки когда-то были своего рода компьютерами и, возможно, заменят нам современные ПК, когда придёт Апокалипсис.