Решить систему линейных уравнений матричным методом. Решение систем линейных уравнений матричным методом. Решение матричных уравнений
(иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ . Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:
- Записать три матрицы: матрицу системы $A$, матрицу неизвестных $X$, матрицу свободных членов $B$.
- Найти обратную матрицу $A^{-1}$.
- Используя равенство $X=A^{-1}\cdot B$ получить решение заданной СЛАУ.
Любую СЛАУ можно записать в матричной форме как $A\cdot X=B$, где $A$ - матрица системы, $B$ - матрица свободных членов, $X$ - матрица неизвестных. Пусть матрица $A^{-1}$ существует. Умножим обе части равенства $A\cdot X=B$ на матрицу $A^{-1}$ слева:
$$A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B.$$
Так как $A^{-1}\cdot A=E$ ($E$ - единичная матрица), то записанное выше равенство станет таким:
$$E\cdot X=A^{-1}\cdot B.$$
Так как $E\cdot X=X$, то:
$$X=A^{-1}\cdot B.$$
Пример №1
Решить СЛАУ $ \left \{ \begin{aligned} & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end{aligned} \right.$ с помощью обратной матрицы.
$$ A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right). $$
Найдём обратную матрицу к матрице системы, т.е. вычислим $A^{-1}$. В примере №2
$$ A^{-1}=-\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right). $$
Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}\cdot B$. Затем выполним умножение матриц
$$ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right)=\\ =-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (-11) \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 309\\ -206 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right). $$
Итак, мы получили равенство $\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Ответ : $x_1=-3$, $x_2=2$.
Пример №2
Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end{aligned}\right.$ методом обратной матрицы.
Запишем матрицу системы $A$, матрицу свободных членов $B$ и матрицу неизвестных $X$.
$$ A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right). $$
Теперь настал черёд найти обратную матрицу к матрице системы, т.е. найти $A^{-1}$. В примере №3 на странице, посвящённой нахождению обратных матриц, обратная матрица была уже найдена. Воспользуемся готовым результатом и запишем $A^{-1}$:
$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right). $$
Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}\cdot B$, после чего выполним умножение матриц в правой части данного равенства.
$$ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)= \frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right)=\\ =\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0+1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end{array}\right)=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 0\\-104\\234\end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right) $$
Итак, мы получили равенство $\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить".
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:
Учитывая определение обратной матрицы, имеем A −1 A =E , где E - единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:
Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b .
Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом
Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:
Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:
Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :
Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b , где
Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A :
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Обратная матрица вычисляется из следующего выражения.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x 1 , x 2 , ..., x n :
Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n .
В соответствии с правилом умножения матрицрассмотренная система линейных уравнений может быть записана вматричной форме Ax=b , где
Матрица A , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы . Матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы . Матрица-столбец x , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы .
Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b , является матричным уравнением .
Если матрица системы невырождена , то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:
x=A -1 b .
Пример
Решить систему
матричным
методом.
Решение найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы
Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:
Поскольку Δ ≠ 0 , то A -1 существует.
Обратная матрица найдена верно.
Найдем
решение системы
Следовательно, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Проверка:
7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Система линейных уравнений имеет вид:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Здесь а i j и b i (i = ; j = ) - заданные, а x j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:
где A = (а i j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы , X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j и из свободных членов b i .
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1 , x 2 ,..., x n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такой, что AC B.
Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой , если она не имеет решений.
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли . Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r.
Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:
1) M = (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной );
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной ). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.
Система
имеет единственное решение только в
том случае, когда
r(A) = n. При этом число
уравнений - не меньше числа неизвестных
(mn);
если m>n, то m-n уравнений являются
следствиями остальных. Если 0 Для
решения произвольной системы линейных
уравнений нужно уметь решать системы,
в которых число уравнений равно числу
неизвестных, - так называемые
системы крамеровского типа
: a 11
x 1
+
a 12
x 2
+...
+ a 1n
x n
=
b 1 , a 21
x 1
+ a 22
x 2
+...
+ a 2n
x n
=
b 2 ,
(5.3) ...
... ... ...
... ... a n1
x 1
+ a n1
x 2
+... + a nn
x n
= b n . Системы (5.3) решаются
одним из следующих способов: 1) методом
Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным
методом. Пример
2.12
. Исследовать
систему уравнений и решить ее, если она
совместна: 5x 1
- x 2
+ 2x 3
+ x 4
= 7, 2x 1
+ x 2
+ 4x 3 -
2x 4
= 1, x 1
- 3x 2
- 6x 3
+ 5x 4
= 0. Решение.
Выписываем
расширенную матрицу системы:
Вычислим
ранг основной матрицы системы. Очевидно,
что, например, минор второго порядка в
левом верхнем углу
=
7
0; содержащие его миноры третьего порядка
равны нулю: Следовательно,
ранг основной матрицы системы равен 2,
т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной
матрицы A
рассмотрим окаймляющий минор значит,
ранг расширенной матрицы r(A)
= 3. Поскольку r(A)
r(A),
то система несовместна. В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения. Определение 1
Метод обратной матрицы
- это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений. Пример 1
Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными: a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n Матричный вид записи
: А × X = B где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матрица системы. X = x 1 x 2 ⋮ x n - столбец неизвестных, B = b 1 b 2 ⋮ b n - столбец свободных коэффициентов. Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A - 1: A - 1 × A × X = A - 1 × B . Так как А - 1 × А = Е, то Е × X = А - 1 × В или X = А - 1 × В. Замечание
Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю. Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А. В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом. Решаем СЛАУ методом обратной матрицы: 2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2 Как решить?
А = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 . d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25 d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей. А 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6 , А 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7 , А 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5 , А 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17 , А 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1 , А 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10 , А 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10 , А 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5 , А 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0 . А * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0 A - 1 = 1 d e t A (A *) T: А - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 , X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1 Ответ
: x 1 = - 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1 Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter Пусть
дана система
линейных уравнений с Будем
предполагать, что основная матрица
Замечание.
Отметим, что матричный метод решения
систем линейных уравнений в отличие от
метода Гаусса имеет ограниченное
применение: этим методом могут быть
решены только такие системы линейных
уравнений, у которых, во-первых, число
неизвестных равно числу уравнений, а
во-вторых, основная матрица невырожденная. Пример.
Решить систему линейных уравнений
матричным методом. Задана
система трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными
Основная
матрица системы уравнений невырожденная,
поскольку её определитель отличен от
нуля: Обратную
матрицу
По
формуле матричного метода решения
систем линейных уравнений получим Данный
метод так же, как и матричный, применим
только для систем линейных уравнений,
у которых число неизвестных совпадает
с числом уравнений. Метод Крамера основан
на одноимённой теореме: Теорема
5.2.
Система
основная
матрица которой невырожденная, имеет
единственное решение, которое может
быть получено по формулам где
Пример.
Найдём решение системы линейных
уравнений, рассмотренной в предыдущем
примере, методом Крамера. Основная
матрица системы уравнений невырожденная,
поскольку
По
формулам, представленным в теореме 5.2,
вычислим значения неизвестных:
Базисное
решение
Исследовать
систему линейных уравнений – означает
определить, какой является эта система
– совместной или несовместной, и в
случае её совместности выяснить,
определённая эта система или неопределённая. Условие
совместности системы линейных уравнений
даёт следующая теорема Теорема
6.1 (Кронекера–Капелли).
Система
линейных уравнений совместна тогда и
только тогда, когда ранг основной матрицы
системы равен рангу её расширенной
матрицы: Для
совместной системы линейных уравнений
вопрос о её определённости или
неопределённости решается с применением
следующих теорем. Теорема
6.2.
Если
ранг основной матрицы совместной системы
равен числу неизвестных, то система
является определённой Теорема
6.3.
Если ранг основной матрицы совместной
системы меньше числа неизвестных, то
система является неопределённой. Таким
образом, из сформулированных теорем
вытекает способ исследования систем
линейных алгебраических уравнений.
Пусть n
– количество неизвестных,
Определение
6.1.
Базисным решением неопределённой
системы линейных уравнений называют
такое её решение, в котором все свободные
неизвестные равны нулю. Пример.
Исследовать систему линейных уравнений.
В случае неопределённости системы найти
её базисное решение. Вычислим
ранги основной
Вторую
строку матрицы сложим с её первой
строкой, умноженной на
К
третьей строке этой матрицы прибавим
вторую строку, умноженную на
удаляя
из которой третью и четвёртую строки
получим ступенчатую матрицу Таким
образом,
Неизвестные
.
Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы
Пример 2
неизвестными:
невырожденная.
Тогда, по теореме 3.1,
существует обратная матрица
Помножив матричное уравнение
на матрицу
слева, воспользовавшись определением
3.2, а также утверждением 8) теоремы 1.1,
получим формулу, на которой основан
матричный метод решения систем линейных
уравнений:
где
составим одним из методов, описанных в
пункте 3.
5.3. Метод Крамера
линейных уравнений с
неизвестными
определитель
матрицы, полученной из основной матрицы
системы уравнений заменой её
го
столбца столбцом свободных членов.
Вычислим определители
6. Исследование систем линейных уравнений.
Тогда:
и расширенной матриц
данной системы уравнений, для чего
приведём расширенную (а вместе с тем и
основную) матрицу системы к ступенчатому
виду:
третью строку – с первой строкой,
умноженной на
а четвёртую строку – с первой, умноженной
на
получим матрицу
а к четвёртой строке – первую, умноженную
на
В результате получим матрицу
Следовательно, данная система линейных
уравнений совместна, а поскольку величина
ранга меньше числа неизвестных, система
является неопределённой.Полученной
в результате элементарных преобразований
ступенчатой матрице соответствует
система уравнений
и
являются главными, а неизвестные
и
свободными. Придавая свободным неизвестным
нулевые значения, получим базисное
решение данной системы линейных
уравнений.
